Álgebra lineal Ejemplos

$4 x + 3 y = 85$ , $3 x + 5 y = 115$

Paso 1

Resuelve $x$ en $4 x + 3 y = 85$ .

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Paso 1.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = 85 - 3 y$

$3 x + 5 y = 115$

Paso 1.2

Divide cada término en $4 x = 85 - 3 y$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $4 x = 85 - 3 y$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{85}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 5 y = 115$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{85}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 5 y = 115$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{85}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 5 y = 115$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$3 x + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$3 x + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$3 x + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$3 x + 5 y = 115$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x + 5 y = 115$ por $\frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$ .

$3 (\frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}) + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 (\frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}) + 5 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (\frac{85}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4}) + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $3 (\frac{85}{4})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Combina $3$ y $\frac{85}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 85}{4} + 3 (- \frac{3 y}{4}) + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $3$ por $85$ .

$\frac{255}{4} + 3 (- \frac{3 y}{4}) + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{255}{4} + 3 (- \frac{3 y}{4}) + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $3 (- \frac{3 y}{4})$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{255}{4} - 3 \frac{3 y}{4} + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{3 y}{4}$ .

$\frac{255}{4} + \frac{- 3 (3 y)}{4} + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{255}{4} + \frac{- 9 y}{4} + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{255}{4} + \frac{- 9 y}{4} + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{255}{4} - \frac{9 y}{4} + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{255}{4} - \frac{9 y}{4} + 5 y = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $5 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{255}{4} - \frac{9 y}{4} + 5 y \cdot \frac{4}{4} = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.3

Combina $5 y$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{255}{4} - \frac{9 y}{4} + \frac{5 y \cdot 4}{4} = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{255}{4} + \frac{- 9 y + 5 y \cdot 4}{4} = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{255 - 9 y + 5 y \cdot 4}{4} = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{255 - 9 y + 20 y}{4} = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.7

Suma $- 9 y$ y $20 y$ .

$\frac{255 + 11 y}{4} = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{255 + 11 y}{4} = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{255 + 11 y}{4} = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$\frac{255 + 11 y}{4} = 115$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{255 + 11 y}{4} = 115$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados por $4$ .

$\frac{255 + 11 y}{4} \cdot 4 = 115 \cdot 4$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{255 + 11 y}{4} \cdot 4$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{255 + 11 y}{4} \cdot 4 = 115 \cdot 4$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$255 + 11 y = 115 \cdot 4$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$255 + 11 y = 115 \cdot 4$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2.1.1.2

Reordena $255$ y $11 y$ .

$11 y + 255 = 115 \cdot 4$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$11 y + 255 = 115 \cdot 4$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$11 y + 255 = 115 \cdot 4$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $115$ por $4$ .

$11 y + 255 = 460$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$11 y + 255 = 460$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$11 y + 255 = 460$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Resta $255$ de ambos lados de la ecuación.

$11 y = 460 - 255$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.2

Resta $255$ de $460$ .

$11 y = 205$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$11 y = 205$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $11 y = 205$ por $11$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $11 y = 205$ por $11$ .

$\frac{11 y}{11} = \frac{205}{11}$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{11 y}{11} = \frac{205}{11}$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{205}{11}$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{205}{11}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{85}{4} - \frac{3 y}{4}$ por $\frac{205}{11}$ .

$x = \frac{85}{4} - \frac{3 (\frac{205}{11})}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{85}{4} - \frac{3 (\frac{205}{11})}{4}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{85 - 3 (\frac{205}{11})}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 3 (\frac{205}{11})$ .

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Paso 4.2.1.2.1.1

Combina $- 3$ y $\frac{205}{11}$ .

$x = \frac{85 + \frac{- 3 \cdot 205}{11}}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

Paso 4.2.1.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $205$ .

$x = \frac{85 + \frac{- 615}{11}}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

$x = \frac{85 + \frac{- 615}{11}}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

Paso 4.2.1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{85 - \frac{615}{11}}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

$x = \frac{85 - \frac{615}{11}}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

Paso 4.2.1.3

Para escribir $85$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{11}{11}$ .

$x = \frac{85 \cdot \frac{11}{11} - \frac{615}{11}}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

Paso 4.2.1.4

Combina $85$ y $\frac{11}{11}$ .

$x = \frac{\frac{85 \cdot 11}{11} - \frac{615}{11}}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

Paso 4.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\frac{85 \cdot 11 - 615}{11}}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

Paso 4.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.6.1

Multiplica $85$ por $11$ .

$x = \frac{\frac{935 - 615}{11}}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

Paso 4.2.1.6.2

Resta $615$ de $935$ .

$x = \frac{\frac{320}{11}}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

$x = \frac{\frac{320}{11}}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

Paso 4.2.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{320}{11} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

Paso 4.2.1.8

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.8.1

Factoriza $4$ de $320$ .

$x = \frac{4 (80)}{11} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

Paso 4.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{4 \cdot 80}{11} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{205}{11}$

Paso 4.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{80}{11}$

$y = \frac{205}{11}$

$x = \frac{80}{11}$

$y = \frac{205}{11}$

$x = \frac{80}{11}$

$y = \frac{205}{11}$

$x = \frac{80}{11}$

$y = \frac{205}{11}$

$x = \frac{80}{11}$

$y = \frac{205}{11}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{80}{11}, \frac{205}{11})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{80}{11}, \frac{205}{11})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{80}{11}, y = \frac{205}{11}$

Paso 7